Halo Jawara POSI! Pernahkah kamu mendengar tentang polinom dan akar polinom? Polinom adalah sebuah ekspresi matematika yang terdiri dari satu atau lebih suku monomial. Suku monomial sendiri adalah hasil perkalian bilangan real dan variabel pangkat non-negatif. Polinom sering digunakan dalam berbagai bidang matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan geometri.

Artikel ini akan membantumu memahami polinom dan akar polinom dengan cara yang mudah dan menyenangkan. Kamu akan mempelajari berbagai konsep dasar polinom dan akar polinom, mulai dari pengertian hingga cara penyelesaiannya dengan contoh yang dapat membantu kamu memahaminya dengan lebih mudah.

Konsep Dasar Polinom:

1. Pengertian Polinom:
   • Polinom adalah ekspresi matematika yang terdiri dari satu atau lebih suku monomial.
   • Suku monomial adalah hasil perkalian bilangan real dan variabel pangkat non-negatif.
   • Contoh polinom: 3x² + 2x – 1, x⁴ – 5x² + 3, 2.
2. Derajat Polinom:
   • Derajat polinom adalah pangkat tertinggi dari variabel dalam polinom.
   • Contoh:
     • Derajat polinom 3x² + 2x – 1 adalah 2.
     • Derajat polinom x⁴ – 5x² + 3 adalah 4.
     • Derajat polinom 2 adalah 0.
3. Jenis-jenis Polinom:
   • Berdasarkan derajatnya, polinom dapat diklasifikasikan menjadi polinomial tingkat pertama (derajat 1), polinomial tingkat kedua (derajat 2), polinomial tingkat ketiga (derajat 3), dan seterusnya.
   • Berdasarkan suku tertingginya, polinom dapat diklasifikasikan menjadi polinomial monomial (hanya satu suku), polinomial binomial (dua suku), polinomial trinomial (tiga suku), dan seterusnya.

Akar Polinom:

1. Pengertian Akar Polinom:
   • Akar polinom adalah nilai variabel yang membuat nilai polinom sama dengan nol.
   • Akar polinom dapat ditemukan dengan berbagai metode, seperti metode faktorisasi, metode pembagian polinomial, dan metode grafik.
2. Hubungan Akar dan Faktor Polinom:
   • Setiap akar polinom adalah nilai yang dapat membuat salah satu faktor polinom sama dengan nol.
   • Contoh:
     • Polinomial x² – 2x – 3 memiliki akar 1 dan 3.
     • Faktor polinomial x² – 2x – 3 adalah (x – 1)(x + 3).
3. Sifat-sifat Akar Polinom:
   • Jumlah akar polinom sama dengan derajat polinom.
   • Hasil kali akar polinom sama dengan koefisien suku konstanta polinom.

Cara Menentukan Akar Polinom:

1. Metode Faktorisasi:
   • Faktorisasi polinom menjadi faktor-faktor linear.
   • Nilai variabel yang membuat salah satu faktor linear sama dengan nol adalah akar polinom.
2. Metode Pembagian Polinomial:
   • Membagi polinom dengan faktor linear (x – a).
   • Jika sisa pembagian sama dengan nol, maka a adalah akar polinom.
3. Metode Grafik:
   • Menggambar grafik polinom.
   • Titik potong antara grafik polinom dan sumbu x adalah akar polinom.

Contoh Soal Polinom dan Akar Polinom

Soal:

1. Faktorisasi polinomial berikut: x² – 5x + 6
2. Tentukan akar-akar polinomial berikut: 2x³ – 5x² + 3x – 2
3. Gambarlah grafik polinomial berikut dan tentukan akar-akarnya: y = x⁴ – 2x² + 1
4. Buktikan bahwa x = 2 dan x = -1 adalah akar-akar polinomial berikut: x³ – 3x² + 2x + 2
5. Suatu polinomial diketahui memiliki akar x = 1 dan x = -2. Tentukan polinomial tersebut.

Penjabaran:

1. Faktorisasi polinomial x² – 5x + 6:

Polinomial ini dapat difaktorkan dengan metode coba-coba. Kita coba cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan yang memenuhi syarat adalah -2 dan -3.

Sehingga, polinomial x² – 5x + 6 dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x – 3).

2. Menentukan akar-akar polinomial 2x³ – 5x² + 3x – 2:

Akar-akar polinomial dapat ditentukan dengan metode pembagian polinomial. Pertama, kita bagi polinomial 2x³ – 5x² + 3x – 2 dengan x – 2. Hasilnya adalah 2x² – x + 1.

Selanjutnya, kita bagi polinomial 2x² – x + 1 dengan x – 2. Hasilnya adalah 0.

Sehingga, polinomial 2x³ – 5x² + 3x – 2 memiliki akar x = 2 dan x = 2.

3. Menggambar grafik polinomial y = x⁴ – 2x² + 1:

Langkah-langkah menggambar grafik polinomial:

1. Buat tabel nilai x dan y dengan menentukan nilai y untuk beberapa nilai x.
2. Plot titik-titik pada bidang koordinat.
3. Hubungkan titik-titik dengan garis halus.

Berdasarkan tabel nilai x dan y, grafik polinomial y = x⁴ – 2x² + 1 memiliki akar x = -1 dan x = 1.

4. Membuktikan bahwa x = 2 dan x = -1 adalah akar-akar polinomial x³ – 3x² + 2x + 2:

Untuk membuktikan bahwa x = 2 dan x = -1 adalah akar-akar polinomial x³ – 3x² + 2x + 2, kita perlu mengganti nilai x dengan 2 dan -1 ke dalam polinomial dan melihat apakah hasilnya sama dengan nol.

• Substitusi x = 2: (2)³ – 3(2)² + 2(2) + 2 = 0
• Substitusi x = -1: (-1)³ – 3(-1)² + 2(-1) + 2 = 0

Berdasarkan hasil substitusi, terbukti bahwa x = 2 dan x = -1 adalah akar-akar polinomial x³ – 3x² + 2x + 2.

5. Menentukan polinomial dengan akar x = 1 dan x = -2:

Polinomial dengan akar x = 1 dan x = -2 dapat dibentuk dengan cara mengalikan dua faktor linear (x – 1) dan (x + 2).

Sehingga, polinomial tersebut adalah (x – 1)(x + 2) = x² + x – 2.

Topik ini dapat kamu temukan di buku Jenius Olimpiade Sains (JOS) yang ada di POSI Store! Dapatkan segera di marketplace kesayangan kamu atau hubungi Admin POSI Store di sini

Follow POSI di Instagram, Twitter, Tiktok, dan jangan lupa subscribe di Youtube POSI.

Dapatkan informasi lebih lengkap seputar produk dan layanan POSI subscribe ke POSI.id dengan cara mengisi pop-up yang muncul di laman website.

Cek informasi dan artikel menarik di Blog POSI.

Pertanyaan, keluhan, dan saran seputar produk dan pelayanan POSI, kirimkan email ke [email protected] dan telepon ke call center POSI di (+62) 821 6544 1992.

Informasi seputar kompetisi online dan offline POSI di 2024, kamu bisa cek di Instagram @posikompetisi atau cek di sini!